問:
每天教數學好煩喔
是誰發明了數學
真厭煩上數學課ㄌ
答:
在數學史上，如果把十七世紀稱做是天才的世紀，那麼，十八世紀則可稱做是發明的世紀。在十七世紀裡誕生的微積分，為人類探索大自然的奧秘提供了強而有力的武器，十八世紀的數學家們毫不猶豫地用起這件武器，闖進了自然科學的各個領域，他們迫不及待地把實際問題轉化為數學形式，然後就陶醉在公式的演算之中。微積分知識在應用中獲得了擴展，衍生出許多新的數學分支。本篇報告將以〝人〝為出發點，藉由這些數學家的貢獻來概述十八世紀的數學。
對十八世紀數學作出主要貢獻的是怕努利 (Bernoulli)家族的成員，棣美弗(Abraham DeMoivre)，泰勒(Brook Taylor)，麥克勞林(Colin Mac-laurin) ，尤拉(Leonhard Euler)，克雷羅(Alexis Claude Clairaut)，達蘭貝爾(Jean-le-Rond d'Alembert) ，蘭伯特(Johann Heinrich Lambert)，拉格期日(Joseph Louis Lagrange)，拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace)，勒讓德(Adrien-Marie Legendre)，蒙日(Gaspard Monge)和卡諾(La-zare Carnot)。我們會注意到這些人的大多數的數學成就都來自微積分在力學和天文學領域的應用。直到完全進入十九世紀，數學研究才普遍地從這個觀點中解放出來。
△伯努利家族
在數學和科學的歷史上最著名的家族之一是瑞士伯努利家族，從十七世紀末葉以來，它產生過不少的數學家和科學家。這個家族的記錄開始於雅科布．伯努利(Jakob Bernoulli,1654-1705)和約翰．伯努利(Johann Bernoulli，1667-1748)兄弟，這兩個人放棄了早年的本行，並且在萊布尼茨的論文開始在《博學學報》上發表時，成了數學家。他們屬於最早認識到微積分的驚人力量並把此工具應用於各種問題的一批數學家。這兄弟二人，在學術上常是勁敵；他們與萊布尼茨和他們兄弟之間都經常交換思想。雅科布．伯努利對數學的貢獻主要有︰極座標的早期使用；在直角座標系和極座標系中平面曲線曲率半徑公式的推導；把懸鏈線的研究擴展到密度可變的鏈和在有心力作用下的鏈許多其它高次平面曲線的研究；所謂等時線[(isochrone)，它是物體沿著它以均勻垂直速度下降的一種曲線]的發現。等時線，弄清楚原來是尖點虛有垂直切線(cusptangent)的半三次拋物線。
他還考慮過:一端固定而另一端加上重量的彈簧棒所取的形狀的確定；由一個有兩個對邊水平地固定在同樣高度上，並負載有重液體的易彎矩形片所取的形狀的確定；滿風矩形帆的形狀的確定。他還提出並討論過等周問題(isoperimetric figures)(周長固定且包括最大面積的給定種類平面閉曲線)，並且是最先在變分法上做工作的數學家之一。他還是數學概率早期研究者之一。他在這個領域的著作《猜測術》是在他死後的1713年發表的。現在，以雅科布．伯努利的名字命名的數學成果主要有：統計學和概率論的伯努利分布(Bernouullidistribution)和伯努利定理(Bernoulli theorem); 每一個學習初等微分方程的學生都會遇到的伯努利方程(Bernoulli equation);在數論中很有影響的伯努利數 (Bernoulli numbers)和伯努利多項式(Bernoulli polynomials);以及在任何一本初等微積分教程中都有的伯努利雙紐線(lemniscate of Bernoulli)。在對等時線(theisochrone curve)問題的雅科布．伯努利解(1690年發表於Actaeruditorum)中，我們第一次遇到微積學意義上的"integral"(積分)這個字，萊布尼茨曾經稱積分為求和計算(calculus summatorius);1696年，萊布尼茨和約翰．伯努利贊同稱之為積分計算 (calculus integralis)。雅科布．伯努利用此法發現:等角螺線在多種變換下產生它自身。
約翰．伯努利比起他哥哥雅科布來，是一位在數學上更為多產的貢獻者。他大大地豐富了微積分學，並且是使這門學科的作用在歐洲大陸得到正確評價的最有影響的人。洛比達 (Marquis de l'Hospital,1661-1704)與約翰訂了個奇怪的財務上的協議，1696年把約翰．伯努利的資料匯集進第一本微積分課本。求不定式0/0的值的熟悉的方法，在後來的微積分課本中，不正確地被人們稱作洛比達法則(L'Hospital's rule)，就是這麼回事。約翰．伯努利的著作，內容很廣泛，它包括︰與反射和折射有聯繫的光學問題，曲線族的正交軌線的確定，用級數求曲線的長和區域的面積，解析三角學，指數演算以及其它內容。他最值得注意的工作之一是在最速陣線(brachistochrone)問題上的貢獻:
確定在重力場中兩個給定點間運動的重質點最快下降的曲線 ;該曲線原來是一條適當的擺線的一段弧，這問題也被雅科布．伯努利討論過。擺線也是等時曲緣 (tau-tochrone)的解;這問題指的是 :確定這樣的曲線，一個重質點沿看它不管從曲線上那一點開始，總是以同樣的時間，達到該曲線的給定點。這後一個問題，被約翰．伯努利、歐拉、拉格期日更一般地討論過，而且它早就被惠更斯 (1673)和牛頓(1687)解決了，並被惠更斯用於擺鐘的製作。約翰．伯努利有三個兒于:尼古勞斯 (Nicolaus,1695一1726)，丹尼鋼(Danie1r1700一1782)和約翰(II) Johann (II),1710一1790，他們都贏得了十八世紀數學家和科學家的盛名。尼古勞斯顯示出在數學領域很有前途，被召到彼得堡科學院，到那裡才八個月，不幸淹死。他寫過關於曲線、微分方程和概率的論文 ;在聖彼得堡提出的一個概率上的問題，後來被人們稱作彼得堡悖論 (Petersburg paradox)。這問題是:如果A第一次擲硬幣出現"正面 "，收入一個便士;到第二次才出現"正面"，兩便士 ;到第三次才出現"正面"，四便士等等。問A的數學期望是什麼 ?數學理論證明A的數學期望是無窮，這似乎是個矛盾的結果。丹尼爾繼承了尼古勞斯在彼得堡的職位，七年之後回到巴塞爾。他是約翰的三個兒子中最著名的，他的大部分精力貢獻給概率論、天文學、物理學和流體動力學。在概率論中，他首先提出淪理道德方面的數學期望的概念 ;現在初等物理課本上以他的名字命名的流體動力學原理就發表於他在 1738年寫的《流體動力學》(Hydrodynamica)中。他寫過關於潮汐的論文，建立了空氣動力學理論，研究了振動弦，並且在偏微分方程方面是先驅者。
△歐拉
歐拉是微積分方法的忠實捍衛者。由於牛頓、萊布尼茲在創立微積分時，並沒有真正理解它的基礎理論極限論，這樣，這項偉大的數學創造就存在著邏輯上的困難，找不到合適的數學理由來證實它的存在是合理的，因而遭到一些人的懷疑和攻擊。法國數學家羅爾甚至說:"微積分是巧妙的謬論的匯集。 "一些唯心主義者更是利用科學上的暫時困難，極盡諷剌挖苦之能事，一時間逆流翻滾，微積分面臨嚴峻的考驗。雖然歐拉也沒能解決極限理論問題，但他同當時約有識之士一樣，確信用微積分方法能得出正確結果不提偶然的，堅信微積分是合理的，因而不去理會微積分理論的缺陷，大膽地運用微積分去解決科學技術問題，開拓新的數學分支。微積分本身就在應用中獲得擴展，益發顯示出它的重要價值。
歐拉拒絕把幾何作為微積分的基礎。他強調純粹形地研究函數，進一步把微積分從幾何的束縛中解放出來，為其深入發展開闢了道路。歐拉涉足的數學領域是極其廣泛的，成就也是多方面的。有人將他發明的公式稱做是全部數學中最卓越的公式之一
因為它把數學中最重要的五個數:1、0、i、、e聯繫在一起。其中，用符勝 i表示虛數，用符號e 表示自然對數的底數，還是歐拉首創的呢 !而用符號"表示圓周率，也足經過歐拉的提倡，才獲得普遍承認的。
1735年，寒冷的天氣和過度緊張的工作，終於使歐拉病倒了，不久，他的一隻跟睛失明了。 1741年，歐拉接受普魯士國王` 緋特烈的邀請。轉到氣候比較溫暖的柏林科學院繼續研究工作。 1766 年，在俄國女皇葉卡傑琳娜二世的誠懇敦聘下，歐拉冒著雙目失明的風險，重新回到了彼得堡，以後就一直生活在俄羅斯的土地上。回到彼得堡不久，歐拉的另一隻眼睛也失明了。他默默地忍受著失明的痛苦，用驚人的毅力與困難作頑強的鬥爭。在未完全失明之前，歐拉更是抓緊一分一秒，在黑板上奮筆疾書他發明的數學公式，讓他兒子 ( 也是數學家) 記錄下來，繼續用他深刻的思想為人類造福。此外在哥尼斯堡著名的〝七橋問題〝， 1736 年，歐拉向彼得堡科學院提出了一份報告，圓滿地解決了這個難題。歐拉是怎樣解決 "七橋問題"的呢?歐拉解決問題的關鍵，是他採取了正確的思維方法而不在於運用多深奧的理論。歐拉解決問題的第一步，是這樣進行的︰既然四塊陸地無非是橋樑的速接點，那麼，就不妨把四塊陸地縮小成四個點，而把七座橋表示成七條線，於是，，找出一條不重覆地通過七橋的路線，就變成了用筆不重複地畫出這個幾何畫形的問題，即一個"一筆畫"問題。
歐拉在解決了"七橋問題"之後，又於1750年在研究凸多面體分類中，得出一個重要結果︰ 其中V、E、F分別表示凸多面體的頂點數、稜數和面數。這就是高中立體幾何中著名的關於凸多面體的歐拉定理。歐拉的這些研究成果，都屬於 "位置幾何學"的內容。後來，到十九世紀中期以後，這門新的幾何學分支中又獲得了一系列新的結果。 因為當時蓬勃復興起來的射影幾何學也叫位置幾何學，為了把這兩門幾何學分支區別開來， 1848年，德國數學家利斯廷就把這門新的幾何學分支稱為 "拓撲學"("拓撲"是英文TOPOLOGY的中文音譯)。現在，拓撲學已經成長為數學的一個龐大分支。
△棣美弗和概率論
在十八世紀中，費爾馬、帕斯卡和惠更斯在概率論方面的先驅思想得到相當詳盡的闡述 ;而概率論之所以能快速發展，其中還有雅科布．伯努利的功勞，他在《猜測術》一書中對概率論作了進一步論述。棣莫弗爾(Abraham De Moivre，1667一1754)在概率論方面的貢獻更大 ;棣莫弗爾以某著作《人壽保險》(Annuities upon Lives)引人注目，這在實用數學上佔重要位置。他的《機會論》 (Doctrine of Chances)包括概率論方面的許多新材料。他的《分析雜論》 (Miseellanea analytica)對循環小數、概率論和解析三角都有貢獻。棣莫弗爾被譽為論述概率積分
和(在統計學的研究中很重要的)正態頻率曲線
c和h為常數
的第一個人。對於很大的n
被誤稱為斯特林公式 (Stirling's formula)，其實起源於棣莫弗爾 ;這封大數的階乘數的近似計算很有用。以棣莫弗爾的名字稱呼的，熟悉的公式
在每一本方程論書上都有 ;對於n是正整數的情況，棣莫弗爾是熟悉的。此公式已成為解析三角學之基本原理。
更有趣的是常說的關於棣莫弗爾死的傳說 :棣莫弗爾發現，他每天需要比前一天多睡1/4小時。當此算術級數達到24小時，棣莫弗爾就逝世了。保險事業在十八世紀大有進展，許多數學家對作為其基礎的概率論發生了興趣。接看，興趣又發展到 :致力於把概率論應用於新的領域。畢豐的伯爵，(Geor-ges Louis Leclerc,l707一1788)----巴黎皇家公園的執事，以其36卷關於自然歷史的著作而引人注目。他於1777年給出了第一個幾何概率的例子 :用實驗方法逼近"值的著名的"投針問題"。他還對概率應用於審判場合作艱難嘗試，例如 :如果對每一個審判員規定個"數"(這個"數"度量其能理解真理或說出真理的機會 )，就能算出法庭作出正確判決的機會。這個審判的概率 (Probabilite des jugements)，連同其啟蒙哲理的聯想，在孔多爾塞侯爵 A.N．卡里塔特(Antoine-Nicolas Caritat,1743一1794)的著作中是有重要位置的。孔多爾塞雖然是法國革命的擁護者，但他又是革命後過激行為時期許許多多知識分子中的一名不幸的受害者。在孔多爾塞的結論中有這麼一條，即 : 死刑應被廢除，因為無論單值判斷的正確性的概率有多大，在許多判決的程序中，某個無罪的人被錯誤處死的概率還是很大的。
△泰勒和麥克勞林
學過微積分的人，從函數的很有用的泰勒展開式和麥克勞林展開式，而熟悉泰勒 (Brook Taylor;1685-1731)這個英格蘭人的名字和麥克勞林 (Colin Ma-claurin,1698-174a)這個蘇格蘭人的名字。泰勒發表 (沒有考慮到收斂性)他的展開式定理
是在 1715年。1717年，泰勒應用他的級數解數字方程，方法如下 :令a為 f(x)=0的一個根的近似值;令 f(a)=k，f'(a)=k' ， f''(a)=k'' ，和x=a+h，將 0=f(a+h)用級數展開;略去 h的高於二次的幕;以 k,k',k" 的值代入，於是解出h。連續地應用這個程序，就能得到越來越精確的近似值。泰勒在透視理論上、在攝影測量 (用在飛機上照相的方法進行測量的科學 )的數學處理上研究出的成果，已經得到了最新的應用。
一直等到1755年，歐拉應用泰勒級數於他的微分學 ;稍後，拉格朗日用帶餘級數作為其函數理論的基礎 :泰勒級數的重要性才被確認。泰勒受教於劍橋大學的聖約翰學院，並且，很早就顯示出數學方面的才能。他被允許參加皇家學會並擔任其秘書 ;後來，為了有可能把時間用於寫作，在三十四歲時就辭去了這個職務。麥克勞林是十八世紀最有才能的數學家之一。所謂麥克勞林展開式並非什麼別的，不過是泰勒展開式在 a=0時的情況，而且這情況已由泰勒明確給出，並在麥克勞林以前二十五年出斯特林 (James Stirling,1692-1770)給出過。麥克勞林在1742年出的兩冊《流數論》中用到它，而且認可了泰勒和斯特林的工作。麥克勞林在幾何學上做了很值得重視的工作，特別是在高次曲線的研究中 ;他在古典幾何學在物理問題上的應用方面顯示巨大的才能。在他的許多應用數學方面的論文中有 :關於潮汐的數學理論的獎金獲得者的學術論文。在他的《流數論》中討論了轉動約兩個橢球相互吸引的問題。
Gabriel Cramer,l704-1752)於1750年在《代數曲線分析引論》 (lntroduc-tion a l'analyse des lignes courbes algebriques)中獨立地發表此規則。之所以人們從他那裡而不是從麥克勞林那裡學到此規則，也許是由於牠的符號優越。
麥克勞林是一位數學上的奇才。他十一歲就考上了格拉斯哥大學。十五歲取得碩士學位，並且為自己關於重力的功的論文作了傑出的公開答辯。十九歲就主持阿伯丁的馬里沙學院數學系，並於二十一歲發表其第一本重要著作《構造幾何》 (Geometria organica)。他二十七歲成為愛丁堡大學數學教授的代理或助理。當時且，他竭力證明 :這門學科給出錯誤的結果，而且奠基於不完善的推理之上。他曾一度稱微積分為 "一套天才的謬論"。他對微積分的攻擊如此之猛烈，以致 :法國科學院有好幾次認為，有必要干涉。在他晚年，態度趨於緩和，承認微積分是有用的。
△拉格朗日
歐拉和拉格期日 (Joseph Louis Lagrange,l736-1813)是十八世紀的兩位最偉大的數學家。關於他們二位中那一位更偉大些的爭論常反映爭論者的不同的數學感受。拉格朗日出生於意大利的都靈，這是個在法國和意大利頗有背景，以前很興旺的家庭 ;他是十一個孩子中最小的一個，並且是過了童年唯一的倖存者。他在都靈受教育，並且，年輕時就在該地的軍事學院任數學教授。 1766年當歐拉離開柏林時，弗雷德里克大帝在寫給拉格期日的信中說 :"歐洲最偉大的國王"希望有 "歐洲最偉大的數學家"在他宮裡。拉格期日接受了這個邀請，擔任歐拉辭去的職位達二十年。在離開柏林幾年之後，不願法蘭西的動亂局勢，拉格期日接受了新建立的高等師範學院 (Ecole Normale)的教授職位，後來又到高等工藝學院 (Ecole Polytechnigue)任教授。第一個學校是短命的，而第二個學校在數學史上是著名的，因為現代法蘭西的大數學家們中有許多在這裡受過教育，而且有許多在這裡當過教授。拉格期日在發展與高等工藝學院有聯繫的高水平的教學上，做了許多工作。
拉格朗日對法國革命的恐怖行為的殘暴表示反感。當大化學家拉瓦錫 (Lavoi-sier)走上斷頭台時，拉格朗日對這愚蠢的判決表示憤慨，他說 :"暴徒剎那間就能砍掉他的頭，但是一百年也不能再生出這樣的一個人才來！ " 晚年，拉格期日忍受看孤獨和沮喪的巨痛。在他五十六歲時，受到了一位比他小將近四十歲的少女的救援。她是他的朋友天文學家萊蒙尼爾 (Lemonnier)的女兒。她對拉格期日的不愉快深表同情，以致堅持要和他結婚。拉格期日接受了她的愛，並且這婚姻結果是理想的。她被證明是一位非常摯愛而且能幹的伴侶，使她的丈夫健康長壽，並且重新喚起了他生活的願望。
拉格期日忠實而且單純地宣稱 :關於他在世界上得到的全部榮譽，有他的溫柔的、摯愛的年輕妻子的一份功勞。拉格期日的著作對後來的數學研究有很深的影響，因為他是認識到分析的基礎處於完全不能令人滿意的狀態，從而試圖使微積分嚴謹化的最早一位一流數學家。 1797年，他在其巨著《微分原理中的解析函數論》 (Theorie des fonctions格期日已被提到過幾次analytiques contenant les principes du calcul differentiel)中作了這種嘗試，雖然是遠不夠成功的嘗試。在這裡，主要思想是以泰勒級數表達函數 f(X)，其導數f'(x),f''(x),...定義為在 f(x+h)以h展開的泰勒展開式中 h，hll2!,-的係數。今天用得很普遍的記號 f'(x),f''(x),.."就起源於拉格期日。但是，拉格期日沒有充分注意到收斂性和發散性的問題。盡管如此，我們在這裡有了最初的 "實變函數論"。拉格期日的另外兩本巨著是《論高次數字方程的解法》 (Traite de resolution des equations numeriqUeS de tous degres,1767)和不朽的《分析力學》 (Mecanique analytique ， 1788)。前者給出用連分數求方程實根的近似值的方法，後者 (會被稱作"科學的詩 ")包括今天稱作拉格朗目方程(Lagrange's equations)的、動力系統運動的一般方程。他在微分方程方面的工作 (例如，參數變值法)，特別是在偏微分方程方面的工作，是很值得注意的，並且他對變分法的貢獻大有助於該學科的發展。拉格期日嗜好數論，在這個領域中，也為了幾篇重要的論文，例如，每一個正整數可被表成不超過四個平方數的和數學形式的人常體驗到，他的筆在智慧方面凌駕於自己之上 ;這就是歐拉承認自己常丟不開的那種感覺。
拉格期日似乎有較高的數學良知，他在風格上是 "現代的"家，二者兼而有之的很少。類似地，所有偉大的數學家可被分為 :形式運算專家或理論創造者，二者兼而有之的很少。歐拉主要是一位偉大的形式運算者，拉格期日是一位偉大的理論家，高斯則在兩方面都取得了卓越的成就。可以說，歐拉像海菲次，拉格期日像貝多芬，而高斯則像巴哈 (Johann Sebastian Bach)。的第一個人說明它，並給他以深刻的印象時，才能說完全理解了它。雖然這個理想似乎是不可能的，時間又常表明它是可以達到。牛頓的萬有引力定律，最初受過高等教育的人都不理解，今天則成了常識。愛因斯坦的相對論，今天也經歷看類似的變化拿破崙 (Napoleon Bonaparte)與他那個時代的許多法國大數學家很親近 ;他對拉格期日總的評價是:"拉格期日是數學科學方面的高聳的金字塔。 "
△拉普拉斯和勒讓德
P.S．拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace)和勒讓德是拉格期日的同時代的人，雖然他們的主要著作發表於十九世紀。拉普拉斯 1749年出生於一個貧窮的家庭。他的數學才能使他較早獲得好的數學職位。他在天體力學、概率論、微分方程和測地學領域內，都做了傑出的工作。他為了兩部不朽的著作 :《天體力學》(Traite de mecanique celeste,5卷，1799-1825)和《關於概率的分析理論》 (Thdorie analytique des probabilites， 1812);在這兩部書的前面，都為了大量非技術性的說明。五卷《天體力學》使他贏得了 "法蘭西的牛頓"的稱號 ;這部書包括所有以前在這個領域的發現和拉普拉斯自己的貢獻，表明作者在這門學科上是一位無敵的大師。拉普拉斯的名字是與宇宙起源的星雲學說 (nebula hypothesis)，勢論的所謂拉普拉斯方程 (Laplace equation)分不開的，雖然這兩項貢獻沒有一項是起源於拉普拉斯的 ;他的名字與後來成為黑維賽德Heavi-side)運算微積的開門鑰匙的拉普拉斯變換 (Laplacet ransform)和行列式的拉音拉斯展開式(Laplace expansion)，也是分不開的。拉普拉斯死於 1827年，正好是牛頓死後100年。據說，他的最後一句話是 :"我們知道的甚少，不知道的甚廣。"
拉普拉斯對數學研究的初學者很慷慨。他稱這些初學者為他的乾兒子，並且，有好幾次給初學者以首先發表的機會。遺憾的是，這樣的慷慨，在數學界太少了。最後我們講拉普拉斯約兩句常引用的話 :"自然的全部效力僅在於少數幾個不變的定律的數學結論。 "在最終分析中，概率論僅僅是用數表示的共同意識。 " A.M．勒讓德 (Adrien-Marie Legendre,1752一 1833)以其很通俗的《幾何學基本原理》(Elements de geometrie)在初等數學史上為人們熟知。在其中他試固以精心排列和簡化許多命題來對歐幾里得《原本》作教學方法上的改進。這部書在美國很受歡迎，並且成為這個國家幾何課本的原型。事實上，勒讓德幾何學的第一個英文譯木是哈佛大學的法勤 (John Farrar)於1819年譯的。三年之後，著名的蘇格蘭文學家卡萊爾 (Thomas Carlyle)譯出了另一個英文譯本;
後來由戴維斯 (CharlesDavieS)修訂，再靠後又由阿姆林(J.H.vanAmringe)修訂，在美國一直生了 33版，在他的幾何學的較遲版本中，勒讓德試圖證明平行公設 (參看13.7節 )。勒讓德在高等數學方面的主要工作集中數論、欖圓函數、最小二乘法和積分上 ;這些太高深，不能在這裡討論。他還是一位熱衷於數學表的計算者。勒讓德的名字，今天是與二階微分方程聯繫在一起的 ;這在應用數學上是相當重要的。滿足此微分方程的函數被稱作 (n階)勒讓德函數 (Legendr functions)。這種方程，當 n為非負整數時，有特別有趣的所謂勒讓德多項式 (Legendre polynomials)的多項式解。勒讓德的名字還與數論的符號(c|P)聯繫在一起。勒讓德符號 (Legendre symbol)(c|P)是等於 +l，還是-1，依與 p互素的整數c是否為奇素數 p的二次剩餘而定[例如， (6|19)=1，因為同餘式有解 ;(39|47)=-l，因為同餘式(mod47)無解。 ]
除了《幾何學基本原理》外，勒讓德1794年還發表了一部 859頁，二卷的著作《數論》(Essai sur la theorie des nombres,1797-1798)，它是專講數論的第一部論著。他後來還發表了一部三卷的論著《積分學習題集》 (Exereises du calcul integral,1811-1819) ，內容豐富而且可信，可與歐拉的類似著作比美。勒讓德後來把這部著作的部分內容擴展成另一部三卷的論著 :《論橢圓函數和歐拉積分》(Traite des fonctions elliptiques et des integrals euleriennes， 1825-1832)。在這裡，勒讓德對和 函數引進了歐拉積分 (Eulerian inte-grals)這個術語。在大地測量學中，勒讓德以其法蘭西三角測量術而享有盛名。
